Разгадка сидит там где тормозится давление масла. Не должно быть задержки, как вы пишете в 2-3 секунды. При нормальном положении дел лампочка гаснет иногда даже ещё при стартере. Надо смотреть приёмную сетку маслонасоса (забилась всякой дрянью наверное) — это самый вероятный вариант. но может также и образоваться затор в масляном канале (где-то до масляного датчика). Либо вариант, что масляный насос уже очень слаб (износился).
Масляный путь: масло забирается из поддона двигателя масляным насосом, подаётся к масляному фильтру, потом пошло к масляному датчику и дальше ко всем смазываемым деталям.