При включенной сигнализации багажник легко открывается

Сигнализация штатная или дополнительно установленная? Если дополнительная, то нужно проверить ее подключение и ее блок. Если штатная, то нужно проверить блок отвечающий за центральный замок. А вы уверены, что сигнализация ставится на охрану? Может быть замки блокируются и сразу разблокируются (двойной щелчок идет)?

Попробую расставить, так сказать, точки над «i».

Вы написали заголовок «Иммобилайзер», а в описании вопроса пишете про сигнализацию.

Дело в том что это разные понятия.

Иммобилайзер — это охранная, противоугонная система двигателя (только двигателя,… и всё). Он не охраняет машину, кузов, двери и прочее.

Сигнализация — охранная система автомобиля, это и двери и багажник и капот, и может так же блокировать запуск двигателя (зависит от количества опций в модели сигнализации).

По проблемам с сигнализацией: надо узнать её модель (название) и изучить инструкцию; возможно просто сбросить все предыдущие настройки, перейти так сказать к заводским.

На брелке название написано?