Двигатель машины резко глохнет, например, из-за отказа ДПКВ, это если инжекторный двигатель (но масло бы не выбросило в этом случае).
Двигатель может заглохнуть, например, из-за порыва ремня ГРМ, может загнуть клапана (но и в этом случае масло не стало бы выбрасывать).
Масло может начать выбрасывать при засорении системы вентиляции картера, если не работает сапун (но мотор резко не заглохнет в этом случае).
То что произошло в вашем случае, больше всего похоже на прогар поршня. Большое скопление газов стало выдавливать масло из картера. Слабое место оказалось — сапун, вот оттуда и выдавило.
А двигатель скорее всего не резко заглох. Прогорает поршень, начинается «подтраивание» (если ехали по трассе или пусть в городе, но на скорости, то могли этого почти не заметить), газы скапливаются, начинают выдавливать масло (вы этого пока не знаете машина едет), потом масло ещё больше выдавливает и разбрасывает по двигателю, оно дымит, но ветром на скорости его выдувает из-под капота, хотя по запаху уже вы должны были почувствовать). Затем масла стало совсем мало в картере и на сухую мог колен/вал заклинить, мотор заглох, машина встала, дым не выдувается вентилятором и потоком воздуха — теперь повалил дым из-под капота.
Из других причин, кроме прогара поршня, это возможно заедание редукционного клапана на маслонасосе или забилась система вентиляции картера (а может и то и другое вместе), давление в поддоне создаётся, выдавливает масло там где это возможно (бывает выдавливает сальники и там начинает течь масло).
А ещё бывает мотор глохнет из-за банальной причины — топливо кончилось в баке или не поступает в двигатель (забит фильтр, не работает бензонасос).
Мотор как не запускается? Стартер не крутит или прокручивается колен/вал, но запуска нет?
Если стартер работает, колен/вал прокручивается, ремень ГРМ на месте, метки не сбиты, прокручивается и распредвал, тогда проверяйте уровень масла, доливайте нужное количество (или замените полностью, если грязное), прочистите сапун, проверьте искру на свечах, поступление бензина чтобы было бесперебойным. Если и искра есть, и бензин поступает, тогда проверяйте компрессию в цилиндрах. Если в каком-то цилиндре нет компрессии или она очень низкая, там значит и проблема образовалась. Можно ещё через свечное отверстие увидеть состояние видеоэндоскопом.
Мотор карбюраторный или инжекторный?
Почему мотор глохнет, можете ещё посмотреть Здесь ...
Как видеоэндоскопом заглядывают в цилиндр можно посмотреть видео
А сколько примерно будет стоить это заменить в автосалоне?
Сперва проверить компрессию надо и если её нет, то снимать ГБЦ и смотреть, что не так.