Перестала заводиться на прогретую Тойота Авенсис 2

Вероятнее всего проблема в топливной системе. Необходимо снять параметры холодного и горячего двигателя ( температура охлаждающей жидкости, давление топлива, коррекция топл. форсунок, состояние клапана сброса, датчика давления топлива и.т.д). Наиболее вероятные причины данной неисправности: неправильные показания датчика температуры охлаждающей жидкости, износ плунжерной пары ТНВД, износ уплотнений ТНВД, нарушение герметичности топливных форсунок. Попробуйте охладить ТНВД, полив его водой и запустить двигатель. Будут ли изменения в процессе запуска?

Стартер может влиять на запуск двигателя, только в одном случае, если при неисправности обмоток проворачивает слишком слабо колен/вал мотора (обороты прокручивания очень низкие).
Ну или стартер вообще не крутит, когда он неисправен или на него не поступает напряжение (неисправность проводки или ослаблен аккумулятор).

«при работе двигатель ведёт себя нормально, и на холостых, и при разбеге подрывает, расхода нет...» — всё это говорит о том, что и все топливные датчики исправны, и насос исправен, и форсунки хорошо работают, и ТНВД исправен.

Проблема вероятно в датчике температуры двигателя или в датчике температуры воздуха.
При нагретом двигателе если не хочет запускаться, то попробуйте снять фишку с ДТОЖ, если запустится, то этот датчик врёт.

Сделайте компьютерную диагностику двигателя на предмет выявления ошибки. Её расшифровка укажет на неисправность.

Проверьте сопротивление датчика температуры ОЖ.