Не заводится после остановки ВАЗ 2108 карбюратор

Хорошо. Теперь проверьте что с зажиганием. Может искры нет. И с катушки проверьте, и с трамблёра.

Нужно смотреть, есть ли бензин в карбюраторе. Смотреть, есть ли искра на свечах. Если нет — смотреть распределитель зажигания и все сопутствующие. Машина может не заводиться по двум причинам: нет смеси, или нет искры.В карбюраторе может игла залипать. Попробуйте бензина подкачать.

Если вы трогали карбюратор, продували его, что-то там видимо разбирали и промывали, тогда надо напоследок проверить его регулировки, его работу и нет ли подсоса воздуха в месте соединения с коллектором и между половинками карбюратора (кстати — когда перебирается карбюратор, то надо всегда устанавливать новые прокладки, потому что старая уже не встанет точно на своё место, будет какое-то смещение, и она не уплотнит соединение герметично).
После установки карбюратора на двигатель, подсоединении всего крепежа и шлангов, пробуйте подкачать туда топливо бензонасосом вручную. Когда бензин хорошо поступает в карбюратор, то это даже слышно как бензин туда наполняется, он как бы журчит, а когда заполнится поплавковая камера, то затихает шумок в карбюраторе, и на бензонасосе ослабевает сопротивление накачиваемого рычага.
Если послушать поступление бензина вам мешают посторонние шумы вокруг, то проверить есть ли топливо в карбюраторе можно подвигав дроссельную заслонку (или подёргать кросик «газа»), и при этом заглядывая в карбюратор сверху (воздушный фильтр снят или снята верхняя крышка корпуса воздушного фильтра). При шевелении дроссельной заслонки из носиков (некоторые называют их «слоники») карбюратора, вниз во впускной коллектор, должен брызгать бензин.
Если бензин не поступает, начинаем искать причину. Вначале, приходит ли бензин к карбюратору. Напротив штуцера подводящего шланга, открутить заглушку (осторожнее, там может быть давление — лучше если набросить ветошь, чтобы не быть забрызганным бензином и на двигатель не налилось). Если давление было, а в карбюратор не заходит, то значит засорился фильтр на входе карбюратора. Кстати: фильтр «Солекса», это его слабое место, он маленький и может часто забиваться, если бензин не очень чист

Грязный фильтр можно продуть сжатым воздухом или заменить на новый.
После установки фильтра, снова пытаетесь закачать бензин в карбюратор. Если он не поступает, тогда придётся снимать верхнюю часть карбюратора. Там либо залипла игла на игольчатом клапане либо неверно отрегулированы поплавки.

Если игольчатый клапан заедает, залипает, то он обычно меняется на новый.
Проверяется и установка поплавков. Кстати все инструкции по регулировке написаны с ошибкой (это если деликатно, а если коротко то — врут). Там поплавки должны быть от плоскости прокладки не 1 мм, а примерно 7-8мм. При одном миллиметре, уровень топлива будет слишком высок. После их регулировки, уровень топлива должен быть там, где красная линия на рисунке

Величина от верхнего края должна быть примерно 25-26 миллиметров

Хорошо бы ещё проверить и продуть топливные жиклёры и воздушные (если вы их не чистили). Также проверить и продуть сами «слоники».
Потом карбюратор собирается, всё что нужно подсоединяется, снова накачивается бензин и проверяется дроссельной заслонкой впрыск топлива.

Теперь о бензонасосе.
Он может недокачивать топливо и тоже могут быть те проблемы, которые вы описали в вопросе. Был у меня случай. Обратился сосед по гаражу, у него ВАЗ 21099. Говорит мотор запускается, машина потихоньку едет, но может и заглохнуть при добавлении оборотов, или не запускается при остановке. Заезжал на три СТО, и нигде ему не смогли помочь, не понимают в чём дело. Я подсоединил манометр, оно было слабое. Снял бензонасос, сделал замеры привода, отрегулировал прокладками расстояние, потом бензонасос на место. Сосед сделал пробный пробег и был очень рад что мотор стал работать хорошо.
О регулировке привода бензонасоса смотрите Здесь ...

Ещё немного о бензонасосе. В нём могут быть изношены клапана. В этом случае тоже похож случай как вы описали: на холодную запускается, а на горячую может и не запуститься, потому что бензин уходит в бак и закачать его трудно с не плотными клапанами бензонасоса.